Existem várias abordagens para modelar séries temporais. Descrevemos algumas das abordagens mais comuns abaixo. Trend, Seasonal, Decomposições Residuais Uma abordagem é decompor as séries temporais em uma componente de tendência, sazonal e residual. O abrandamento exponencial triplo é um exemplo desta abordagem. Outro exemplo, chamado loess sazonal, é baseado em mínimos quadrados localmente ponderados e é discutido por Cleveland (1993). Não discutimos o loess sazonal neste manual. Métodos baseados em frequência Outra abordagem, comumente usada em aplicações científicas e de engenharia, é analisar a série no domínio da freqüência. Um exemplo dessa abordagem na modelagem de um conjunto de dados de tipo sinusoidal é mostrado no estudo de caso de deflexão do feixe. O gráfico espectral é a ferramenta principal para a análise de freqüência de séries temporais. Modelos Autoregressivos (AR) Uma abordagem comum para modelar séries temporais univariadas é o modelo autorregressivo (AR): Xt delta phi1 X phi2 X cdots phip X At, onde (Xt) é a série temporal, (At) é ruído branco e delta Esquerda (1 - sum p phii right) mu. Com (mu) denotando o processo significa. Um modelo autoregressivo é simplesmente uma regressão linear do valor atual da série contra um ou mais valores anteriores da série. O valor de (p) é chamado de ordem do modelo AR. Os modelos AR podem ser analisados com um dos vários métodos, incluindo técnicas de mínimos quadrados padrão padrão. Eles também têm uma interpretação direta. Modelos de média móvel (MA) Outra abordagem comum para a modelagem de modelos de séries temporais univariáveis é o modelo de média móvel (MA): Xt mu At - theta1 A - theta2 A - cdots - thetaq A, onde (Xt) é a série temporal, (mu ) É a média da série, (A) são termos de ruído branco e (theta1, ldots,, thetaq) são os parâmetros do modelo. O valor de (q) é chamado de ordem do modelo MA. Ou seja, um modelo de média móvel é conceitualmente uma regressão linear do valor atual da série contra o ruído branco ou choques aleatórios de um ou mais valores anteriores da série. Os choques aleatórios em cada ponto são assumidos como provenientes da mesma distribuição, geralmente uma distribuição normal, com localização em zero e escala constante. A distinção neste modelo é que esses choques aleatórios são propogados para valores futuros das séries temporais. Ajustar as estimativas de MA é mais complicado do que com os modelos AR porque os termos de erro não são observáveis. Isto significa que os procedimentos iterativos de encadernação não linear precisam ser usados em lugar de mínimos quadrados lineares. Os modelos MA também têm uma interpretação menos óbvia do que os modelos AR. Às vezes, o ACF eo PACF sugerem que um modelo de MA seria uma escolha de modelo melhor e, por vezes, ambos os termos de AR e MA devem ser usados no mesmo modelo (ver Seção 6.4.4.5). Note, no entanto, que os termos de erro após o ajuste do modelo devem ser independentes e seguir os pressupostos padrão para um processo univariado. Box e Jenkins popularizaram uma abordagem que combina a média móvel e as abordagens autorregressivas no livro Time Series Analysis: Forecasting and Control (Box, Jenkins e Reinsel, 1994). Embora as abordagens médias autorregressivas e móveis já tenham sido conhecidas (e foram originalmente investigadas por Yule), a contribuição de Box e Jenkins foi no desenvolvimento de uma metodologia sistemática para identificar e estimar modelos que poderiam incorporar ambas as abordagens. Isso faz com que os modelos Box-Jenkins sejam uma classe de modelos poderosa. As próximas várias seções discutirão estes modelos em detalhes.8.3 Modelos autoregressivos Em um modelo de regressão múltipla, prevemos a variável de interesse usando uma combinação linear de preditores. Num modelo de autoregressão, nós preveemos a variável de interesse usando uma combinação linear de valores passados da variável. O termo regressão automática indica que é uma regressão da variável contra si mesma. Assim, um modelo autoregressivo de ordem p pode ser escrito como onde c é constante e et é ruído branco. Isso é como uma regressão múltipla, mas com valores atrasados de yt como preditores. Nós nos referimos a isso como um modelo AR (p). Os modelos autoregressivos são extremamente flexíveis ao manipular uma ampla gama de diferentes padrões de séries temporais. As duas séries da Figura 8.5 mostram séries de um modelo AR (1) e um modelo AR (2). Alterar os parâmetros phi1, pontos, phip resulta em diferentes padrões de séries temporais. A variância do termo de erro e apenas alterará a escala da série e não os padrões. Figura 8.5: Dois exemplos de dados de modelos autorregressivos com diferentes parâmetros. À esquerda: AR (1) com yt 18 -0,8y et. Direito: AR (2) com yt 8 1.3y -0.7y et. Em ambos os casos, e normalmente é distribuído ruído branco com zero médio e variância um. Para um modelo AR (1): Quando phi10, yt é equivalente ao ruído branco. Quando phi11 e c0, yt é equivalente a uma caminhada aleatória. Quando phi11 e cne0, yt é equivalente a uma caminhada aleatória com deriva. Quando phi1lt0, yt tende a oscilar entre valores positivos e negativos. Normalmente, restringimos modelos autoregressivos a dados estacionários e, em seguida, são necessárias algumas restrições sobre os valores dos parâmetros. Para um modelo AR (1): -1 lt phi1 lt 1. Para um modelo AR (2): -1 lt phi2 lt 1, phi1phi2 lt 1, phi2-phi1 lt 1. Quando pge3 as restrições são muito mais complicadas. R cuida dessas restrições ao estimar um modelo. A documentação a é um vetor constante de deslocamentos, com n elementos. A i são matrizes n-by-n para cada i. O A é matriz autoregressiva. Existem p matrizes autorregressivas. 949 t é um vetor de inovações serialmente não correlacionadas. Vetores de comprimento n. Os 949 t são vetores aleatórios normais multivariados com uma matriz Q de covariância. Onde Q é uma matriz de identidade, a menos que seja especificado de outra forma. B j são matrizes n-por-n para cada j. O B j é uma matriz média móvel. Existem q matrizes de média móvel. X t é uma matriz n-por-r que representa termos exógenos em cada tempo t. R é o número de séries exógenas. Termos exógenos são dados (ou outras entradas não modificadas) além das séries de tempo de resposta y t. B é um vetor constante de coeficientes de regressão de tamanho r. Portanto, o produto X t middotb é um vetor de tamanho n. Geralmente, as séries temporais y t e X t são observáveis. Em outras palavras, se você tiver dados, representa uma ou ambas as séries. Você nem sempre conhece o deslocamento a. Coeficiente b. Matrizes autorregressivas A i. E matrizes médias móveis B j. Você normalmente deseja ajustar esses parâmetros aos seus dados. Veja a página de referência da função vgxvarx para obter formas de estimar parâmetros desconhecidos. As inovações 949 t não são observáveis, pelo menos em dados, embora possam ser observáveis em simulações. Representação do operador Lag Existe uma representação equivalente das equações auto-regressivas lineares em termos de operadores de atraso. O operador de atraso L move o índice de tempo de volta por um: L y t y t 82111. O operador L m move o índice de tempo de volta por m. Lm y t y t 8211 m. Na forma do operador de lag, a equação para um modelo de SVARMAX (p. Q. r) torna-se (A 0 x2212 x2211 i 1 p A i L i) y t a X t b (B 0 x2211 j 1 q B j L j) x03B5 t. Esta equação pode ser escrita como A (L) y t a X t b B (L) x03B5 t. Um modelo VAR é estável se det (I n x2212 A 1 z x2212 A 2 z 2 x2212. X2212 A pzp) x2260 0 x00A0x00A0forx00A0x00A0 z x2264 1. Esta condição implica que, com todas as inovações iguais a zero, o processo VAR converge para um Com o passar do tempo. Veja Luumltkepohl 74 Capítulo 2 para uma discussão. Um modelo VMA é inversível se det (I n B 1 z B 2 z 2. B q z q) x2260 0 x00A0x00A0forx00A0x00A0 z x2264 1. Esta condição implica que a representação VAR pura do processo é estável. Para obter uma explicação sobre como converter entre modelos VAR e VMA, consulte Mudando as Representações do Modelo. Consulte Luumltkepohl 74 Capítulo 11 para uma discussão de modelos VMA reversíveis. Um modelo VARMA é estável se sua parte VAR for estável. Da mesma forma, um modelo VARMA é reversível se sua parte VMA for reversível. Não há uma noção bem definida de estabilidade ou invertibilidade para modelos com entradas exógenas (por exemplo, modelos VARMAX). Uma entrada exógena pode desestabilizar um modelo. Criando modelos VAR Para entender um modelo de séries temporais múltiplas ou dados de séries temporais múltiplas, você geralmente executa as seguintes etapas: Importe e preprocesse dados. Especifique um modelo. Estruturas de especificação sem valores de parâmetro para especificar um modelo quando você deseja que MATLAB x00AE estimue os parâmetros Estruturas de especificação com valores de parâmetro selecionados para especificar um modelo onde você conhece alguns parâmetros e quer MATLAB para estimar os outros Determinando um Número apropriado de Lags para determinar Um número adequado de atrasos para o seu modelo Ajuste o modelo aos dados. Fitting Models to Data para usar o vgxvarx para estimar os parâmetros desconhecidos em seus modelos. Isso pode envolver: Alterar representações de modelo para alterar seu modelo para um tipo que o vgxvarx manipula Analisar e prever usando o modelo ajustado. Isso pode envolver: Examinar a Estabilidade de um Modelo Ajustado para determinar se o seu modelo é estável e invertível. Previsão do modelo VAR para prever diretamente dos modelos ou para prever usando uma simulação de Monte Carlo. Cálculo de respostas de impulso para calcular respostas de impulso, que fornecem previsões baseadas em uma mudança assumida em uma entrada para uma série de tempo. Compare os resultados das previsões dos seus modelos com os dados divulgados para a previsão. Para um exemplo, veja VAR Model Case Study. Seu aplicativo não precisa envolver todas as etapas neste fluxo de trabalho. Por exemplo, você pode não ter dados, mas quer simular um modelo parametrizado. Nesse caso, você executaria apenas os passos 2 e 4 do fluxo de trabalho genérico. Você pode repetir algumas dessas etapas. Exemplos relacionados Selecione seu país
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